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In matematica, più precisamente in algebra lineare, una trasformazione lineare, detta anche applicazione lineare o mappa lineare, è una funzione lineare tra due spazi vettoriali sullo stesso campo, cioè una funzione che conserva le operazioni di somma di vettori e di moltiplicazione per uno scalare. In altre parole, una trasformazione lineare preserva le combinazioni lineari. Nel linguaggio dell'algebra astratta, una trasformazione lineare è un omomorfismo di spazi vettoriali, in quanto conserva le operazioni che caratterizzano gli spazi vettoriali.

In analisi funzionale una trasformazione lineare è spesso detta operatore lineare. In tale contesto, particolare importanza rivestono gli operatori lineari continui tra spazi vettoriali topologici, come ad esempio spazi di Banach.

Indice

1 Definizione

2 Esistenza ed unicità dell'applicazione lineare

3 Matrice associata

4 Struttura di spazio vettoriale

5 Nucleo e immagine

6 Endomorfismi e automorfismi

7 Pull-Back di funzioni ed applicazione trasposta

8 Esempi

9 Note

10 Bibliografia

11 Voci correlate

12 Altri progetti

13 Collegamenti esterni

Definizione |

Siano $V$ e $W$ due spazi vettoriali sullo stesso campo $K$ . Una funzione ${displaystyle f:Vto W}$ è una trasformazione lineare se soddisfa le seguenti proprietà:^[1]^[2]

${displaystyle f(mathbf {x} +mathbf {y} )=f(mathbf {x} )+f(mathbf {y} ) }$

${displaystyle f(amathbf {x} )=af(mathbf {x} ) }$

per ogni coppia di vettori $mathbf {x}$ e ${displaystyle mathbf {y} }$ in $V$ e per ogni scalare $a$ in $K$ . La prima proprietà è detta additività, la seconda omogeneità di grado 1.

Equivalentemente, $f$ è lineare se "preserva le combinazioni lineari" (principio di sovrapposizione), ovvero se:

{displaystyle f(a_{1}mathbf {x} _{1}+cdots +a_{m}mathbf {x} _{m})=a_{1}f(mathbf {x} _{1})+cdots +a_{m}f(mathbf {x} _{m})}

per ogni intero positivo m e ogni scelta dei vettori ${displaystyle mathbf {x} _{1},ldots ,mathbf {x} _{m}}$ e degli scalari ${displaystyle a_{1},ldots ,a_{m}}$ .

Se ${displaystyle f:Vto W}$ è una applicazione lineare e ${displaystyle mathbf {0} _{V}}$ e ${displaystyle mathbf {0} _{W}}$ sono i vettori nulli di $V$ e $W$ rispettivamente, allora:^[3]

{displaystyle f(mathbf {0} _{V})=f(mathbf {0} _{V}+mathbf {0} _{V})=f(mathbf {0} _{V})+f(mathbf {0} _{V})}

e togliendo ${displaystyle f(mathbf {0} _{V})}$ da ambo i membri si ottiene

{displaystyle mathbf {0} _{W}=f(mathbf {0} _{V})}

Sostituendo allo zero una combinazione lineare di vettori linearmente dipendenti si dimostra che un'applicazione lineare non banale manda sottoinsiemi del dominio linearmente indipendenti in sottoinsiemi del codominio linearmente indipendenti.^[4]

Un'applicazione lineare è descritta completamente attraverso la sua azione sui vettori di una base qualsiasi del dominio.^[5] Poiché la scrittura di un vettore in una data base è unica, la linearità dell'applicazione determina l'unicità del vettore immagine.

Un'applicazione lineare biunivoca (o invertibile) è inoltre un isomorfismo tra spazi vettoriali.^[6]

Esistenza ed unicità dell'applicazione lineare |

Siano $V$ e $W$ due spazi vettoriali di dimensione finita. Sia ${displaystyle B_{V}=(mathbf {v} _{1},ldots ,mathbf {v} _{n})}$ una base di $V$ e siano ${displaystyle mathbf {w} _{1},ldots ,mathbf {w} _{n}}$ vettori di $W$ . Allora esiste un'unica applicazione lineare da $V$ in $W$ tale che:^[7]

{displaystyle f(mathbf {v} _{i})=mathbf {w} _{i}quad forall i}

Nel caso non si conosca la forma esplicita dell'applicazione è comunque possibile stabilirne l'esistenza e l'unicità attraverso la conoscenza dell'azione dell'applicazione su un insieme di vettori dati ${displaystyle {{mathbf {v} }_{i}}}$ , dei quali si conosce quindi l'immagine. Se l'insieme di vettori è una base del dominio allora l'applicazione è univocamente determinata, mentre se i vettori dati non costituiscono una base vi sono due casi:

I vettori di cui si conosce l'immagine sono linearmente indipendenti: in tal caso l'applicazione esiste ma non è unica.

I vettori di cui si conosce l'immagine non sono linearmente indipendenti: in tal caso uno o più vettori sono combinazione lineare dei restanti. Si ha:

{displaystyle mathbf {v} _{j}=sum _{i=1}^{n}a_{i}mathbf {v} _{i}}

L'applicazione esiste (ma non è unica) se e solo se:

{displaystyle f(mathbf {v} _{j})=sum _{i=1}^{n}a_{i}f(mathbf {v} _{i})}

Matrice associata |

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Lo stesso argomento in dettaglio: Matrice di trasformazione.

Siano $V$ e $W$ due spazi vettoriali di dimensione finita. Scelte due basi ${displaystyle B_{V}}$ e $B_W$ per $V$ e $W$ , ogni trasformazione lineare da $V$ a $W$ è rappresentabile come una matrice. Si ponga:

{displaystyle B_{V}=(mathbf {v} _{1},ldots ,mathbf {v} _{n})}

{displaystyle B_{W}=(mathbf {w} _{1},ldots ,mathbf {w} _{m})}

Ogni vettore ${mathbf v}$ in $V$ è univocamente determinato dalle sue coordinate ${displaystyle c_{1},ldots ,c_{n}}$ , definite in modo che:

{displaystyle mathbf {v} =c_{1}mathbf {v} _{1}+cdots +c_{n}mathbf {v} _{n}}

Se ${displaystyle f:Vto W}$ è una trasformazione lineare si ha:

{displaystyle f(mathbf {v} )=f(c_{1}mathbf {v} _{1}+cdots +c_{n}mathbf {v} _{n})=c_{1}f(mathbf {v} _{1})+cdots +c_{n}f(mathbf {v} _{n})}

Quindi la funzione $f$ è determinata dai vettori ${displaystyle f(mathbf {v} _{1}),ldots ,f(mathbf {v} _{n})}$ . Ciascuno di questi è scrivibile come:

{displaystyle f(mathbf {v} _{j})=a_{1j}mathbf {w} _{1}+cdots +a_{mj}mathbf {w} _{m}}

La funzione $f$ è dunque interamente determinata dai valori di $a_{{i,j}}$ , che formano la matrice associata a $f$ nelle basi ${displaystyle B_{V}}$ e $B_W$ .^[8]

La matrice associata $A$ è di tipo $mtimes n$ , e può essere usata agevolmente per calcolare l'immagine ${displaystyle f(mathbf {v} )}$ di ogni vettore di $V$ grazie alla relazione seguente:

{displaystyle A[mathbf {v} ]_{B_{V}}=[mathbf {w} ]_{B_{W}}}

dove ${displaystyle [mathbf {v} ]_{B_{V}}}$ e ${displaystyle [mathbf {w} ]_{B_{W}}}$ sono le coordinate di ${mathbf v}$ e $mathbf w$ nelle rispettive basi.

Si nota che la scelta delle basi è essenziale: la stessa matrice, usata su basi diverse, può rappresentare applicazioni lineari diverse.

Struttura di spazio vettoriale |

L'insieme ${displaystyle mathrm {Hom} (V,W)}$ delle applicazioni lineari da $V$ in $W$ è un sottospazio vettoriale dello spazio vettoriale sul campo $K$ formato da tutte le funzioni da $V$ in $W$ , infatti:^[9]

se ${displaystyle f:Vto W}$ e ${displaystyle g:Vto W}$ sono lineari, allora è lineare la loro somma ${displaystyle f+g}$ , definita dalla relazione

{displaystyle (f+g)(mathbf {v} )=f(mathbf {v} )+g(mathbf {v} );}

se ${displaystyle f:Vto W}$ è lineare e $a$ è un elemento del campo $K$ , allora la funzione ${displaystyle af}$ , definita da ${displaystyle (af)(mathbf {v} )=a(f(mathbf {v} ))}$ , è anch'essa lineare.

Nel caso finito-dimensionale, dopo aver fissato delle basi, le operazioni di somma e prodotto di una funzione per uno scalare di applicazioni lineari corrispondono rispettivamente a somma di matrici e moltiplicazione di matrici per uno scalare. Le basi definiscono quindi un isomorfismo ${displaystyle mathrm {Hom} (V,W)to M(n,m)}$ tra gli spazi vettoriali delle applicazioni lineari e delle matrici ${displaystyle ntimes m}$ , dove $m$ e $n$ sono le dimensioni rispettivamente di $V$ e $W$ .

Nucleo e immagine |

Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema della dimensione.

Se ${displaystyle f:Vto W}$ è lineare, il nucleo di $f$ è l'insieme:^[10]

{displaystyle mathrm {Ker} (f)={,mathbf {x} in V:f(mathbf {x} )=0,}}

mentre l'immagine di $f$ è l'insieme:^[11]

{displaystyle operatorname {Im} (f)={,f(mathbf {x} )in W:mathbf {x} in V,}}

L'insieme ${displaystyle mathrm {Ker} (f)}$ è un sottospazio di ${displaystyle V}$ , mentre ${displaystyle operatorname {Im} (f)}$ è un sottospazio di $W$ . Se $V$ e $W$ hanno dimensione finita, il teorema della dimensione asserisce che:^[12]

{displaystyle dim(mathrm {Ker} (f))+dim(operatorname {Im} (f))=dim(V)}

Questo teorema fornisce un criterio necessario e sufficiente al fine di stabilire l'esistenza di una trasformazione lineare.

Endomorfismi e automorfismi |

Una trasformazione lineare $f:Vto V$ è un endomorfismo di $V$ . L'insieme di tutti gli endomorfismi End( $V$ ) insieme a addizione, composizione e moltiplicazione per uno scalare come descritti sopra formano un'algebra associativa con unità sul campo $K$ : in particolare formano un anello e uno spazio vettoriale su $K$ . L'elemento identità di questa algebra è la trasformazione identità di $V$ .

Un endomorfismo biiettivo di $V$ viene chiamato automorfismo di $V$ . La composizione di due automorfismi è di nuovo un automorfismo, e l'insieme di tutti gli automorfismi di $V$ forma un gruppo, il gruppo generale lineare di $V$ , chiamato ${displaystyle mathrm {Aut} (V)}$ o ${displaystyle mathrm {GL} (V)}$ .

Se la dimensione di $V$ è finita basterà che f sia iniettiva per poter affermare che sia anche suriettiva (per il teorema della dimensione). Inoltre l'isomorfismo

{displaystyle {textrm {End}}(V)to M(n)}

fra gli endomorfismi e le matrici quadrate $ntimes n$ descritto sopra è un isomorfismo di algebre. Il gruppo degli automorfismi di $V$ è isomorfo al gruppo lineare generale ${displaystyle mathrm {GL} (n,K)}$ di tutte le matrici $ntimes n$ invertibili a valori in $K$ .

Pull-Back di funzioni ed applicazione trasposta |

Lo stesso argomento in dettaglio: Pull-back.

Siano $A$ , $B$ e $C$ insiemi e siano ${displaystyle F(A,C)}$ e ${displaystyle F(B,C)}$ le famiglie di funzioni da $A$ in $C$ e da $B$ in $C$ rispettivamente. Ogni $phi :Ato B$ determina univocamente una corrispondenza ${displaystyle phi ^{*}:F(B,C)to F(A,C)}$ chiamata pull-back tramite $phi$ , che manda $F$ in ${displaystyle Fcirc phi }$ .

Se nello specifico si considerano ${displaystyle A=V}$ e ${displaystyle B=W}$ due spazi vettoriali su un campo ${displaystyle K=C}$ e anziché prendere interamente ${displaystyle F(V,K)}$ e ${displaystyle F(W,K)}$ si considerano gli spazi duali $V^*$ e $W^{*}$ si ha che ad ogni trasformazione lineare ${displaystyle phi :Vto W}$ si può associare l'opportuna restrizione del pull-back tramite $phi$ , ovvero la funzione ${displaystyle phi ^{*}:W^{*}to V^{*}}$ che prende il nome di trasposta di $phi$ .

Segue direttamente da come sono definite le operazioni in $V^*$ e $W^{*}$ che ${displaystyle phi ^{*}}$ è a sua volta lineare. Con un semplice calcolo si vede che fissate delle basi per $V$ e $W$ e le rispettive duali in $V^*$ e $W^{*}$ , la matrice di trasformazione associata a ${displaystyle phi ^{*}}$ è la trasposta di quella di $phi$ .

Segue dalla definizione che un funzionale ${displaystyle lambda in W^{*}}$ viene mandato in zero da ${displaystyle phi ^{*}}$ solo se l'immagine di $phi$ è contenuta nel nucleo di $lambda$ cioè, indicando con ${displaystyle U^{perp }}$ il sottospazio dei funzionali che annullano ${displaystyle Usubset W}$ , si ha ${displaystyle mathrm {Ker} (phi ^{*})subseteq (Im phi )^{perp }}$ . Inoltre dalla stessa definizione si deduce che un funzionale ${displaystyle mu in V^{*}}$ è immagine di un funzionale ${displaystyle eta in W^{*}}$ (vale a dire ${displaystyle mu =phi ^{*}(eta )}$ solo se $eta$ annulla il nucleo di $phi$ , ossia ${displaystyle Im (phi ^{*})subseteq (mathrm {Ker} phi )^{perp }}$ . Nel caso in cui $V$ e $W$ siano di dimensione finita si deduce dal teorema della dimensione e dalle relazioni ${displaystyle dim ~V=mathrm {Ker} phi +(mathrm {Ker} phi )^{perp }}$ e ${displaystyle dim ~W^{*}=dim ~W=Im phi +(Im phi )^{perp }}$ che le due inclusioni precedenti sono a tutti gli effetti uguaglianze.

Esempi |

La moltiplicazione ${displaystyle f(v)=av}$ , in qualsiasi spazio vettoriale su $K$ , per una costante fissata ${displaystyle ain K}$ .

Una rotazione del piano euclideo rispetto all'origine di un angolo fissato.

Una riflessione del piano euclideo rispetto ad una retta passante per l'origine.

La proiezione di uno spazio vettoriale $V$ decomposto in somma diretta:

${displaystyle V=Uoplus W}$

su uno dei due sottospazi $U$ o $W$ .

Una matrice $A$ di tipo ${displaystyle mtimes n}$ con valori reali definisce una trasformazione lineare:

${displaystyle L_{A}:mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} ^{m}qquad L_{A}(v)=Av}$

dove ${displaystyle Av}$ è il prodotto di $A$ e $v$ . Ogni trasformazione lineare tra spazi vettoriali di dimensione finita è essenzialmente di questo tipo: si veda la sezione seguente.

L'integrale di una funzione reale su un intervallo definisce una mappa lineare dallo spazio vettoriale delle funzioni continue definite sull'intervallo nello spazio vettoriale $R$ .

La derivata definisce una mappa lineare dallo spazio vettoriale di tutte le funzioni derivabili in qualche intervallo aperto di $R$ nello spazio di tutte le funzioni.

Lo spazio ${displaystyle mathbb {C} }$ dei numeri complessi ha una struttura di spazio vettoriale complesso di dimensione 1, e anche di spazio vettoriale reale di dimensione 2. La coniugazione

${displaystyle f:mathbb {C} to mathbb {C} qquad f(z)={bar {z}}}$

è una mappa $R$ -lineare ma non ${displaystyle mathbb {C} }$ -lineare: infatti la proprietà di omogeneità vale solo per scalari reali.

Note |

^ S. Lang, Pag. 82

^ Hoffman, Kunze, Pag. 67

^ Hoffman, Kunze, Pag. 68

^ Hoffman, Kunze, Pag. 80

^ S. Lang, Pag. 86

^ S. Lang, Pag. 96

^ Hoffman, Kunze, Pag. 69

^ S. Lang, Pag. 84

^ S. Lang, Pag. 85

^ S. Lang, Pag. 90

^ S. Lang, Pag. 91

^ S. Lang, Pag. 92

Bibliografia |

Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.

Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.

Voci correlate |

Autovettore e autovalore

Combinazione lineare

Funzionale lineare

Funzione lineare

Linearità (matematica)

Matrice di trasformazione

Operatore lineare continuo

Pull-back

Teorema della dimensione

Trasformazione affine

Spazio duale

Altri progetti |

Questa voce è inclusa nel libro di Wikipedia Algebra lineare.

Collegamenti esterni |

(EN) L.D. Kudryavtsev, Linear function, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

(EN) http://www.falstad.com/matrix/

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Controllo di autorità	GND (DE) 4167700-6

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[1] S. Lang, Pag. 82

[2] Hoffman, Kunze, Pag. 67

[3] Hoffman, Kunze, Pag. 68

[4] Hoffman, Kunze, Pag. 80

[5] S. Lang, Pag. 86

[6] S. Lang, Pag. 96

[7] Hoffman, Kunze, Pag. 69

[8] S. Lang, Pag. 84

[9] S. Lang, Pag. 85

[10] S. Lang, Pag. 90

[11] S. Lang, Pag. 91

[12] S. Lang, Pag. 92

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