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In statistica, la media è un singolo valore numerico che descrive sinteticamente un insieme di dati. Esistono varie tipologie di media che possono essere scelte per descrivere un fenomeno: quelle più comunemente impiegate sono le tre cosiddette medie pitagoriche (aritmetica, geometrica e armonica).

Nel linguaggio ordinario, con il termine media si intende comunemente la media aritmetica.

È l'indice di posizione più utilizzato.^[1]

Media aritmetica |

La media aritmetica è il tipo di media impiegato più comunemente e quello al quale, con il termine "media", si fa in genere riferimento nel parlare comune. Viene usata per riassumere con un solo numero un insieme di dati su un fenomeno misurabile (per esempio, l'altezza media di una popolazione).

Viene calcolata sommando tutti i valori a disposizione e dividendo il risultato per il numero complessivo dei dati.

La formula della media aritmetica semplice per n{displaystyle n} elementi è:^[2][3]

Ma=1n∑i=1nxi{displaystyle M_{a}={frac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}x_{i}}

Nel caso in cui si disponga della distribuzione di frequenze del fenomeno (carattere) misurato è possibile calcolare più agilmente la media aritmetica a partire dalle seguente formula:

Ma=1n∑j=1Kxjnj{displaystyle M_{a}={frac {1}{n}}sum _{j=1}^{K}x_{j}n_{j}}

dove K{displaystyle K}è il numero di modalità assunte dal carattere x, xj{displaystyle x_{j}} rappresenta la j-esima modalità di x e nj{displaystyle n_{j}} la corrispondente frequenza assoluta. Essendo poi nj/n=fj{displaystyle n_{j}/n=f_{j}}, ne deriva che:

Ma=∑j=1Kxjfj{displaystyle M_{a}=sum _{j=1}^{K}x_{j}f_{j}}

dove fj{displaystyle f_{j}} rappresenta la frequenza relativa della j-esima modalità del carattere x.

La media aritmetica ponderata (o media pesata) viene calcolata sommando i valori in analisi, ognuno moltiplicato per un coefficiente (detto anche peso) che ne definisce l'"importanza", e dividendo tutto per la somma dei pesi (quindi è una combinazione lineare convessa dei dati in analisi). Alla luce di questa definizione, la media aritmetica semplice è un caso particolare di media aritmetica pesata nella quale tutti i valori hanno peso unitario.

La formula generale per la media pesata è quindi:

Ma,pond=∑i=1nxifi∑i=1nfi{displaystyle M_{a,pond}={frac {sum _{i=1}^{n}x_{i}f_{i}}{sum _{i=1}^{n}f_{i}}}}

dove fi{displaystyle f_{i}} è il peso del termine i{displaystyle i}-esimo.

Si dimostra facilmente che la media aritmetica è un indice di posizione, in quanto aggiungendo o moltiplicando tutti i valori per una stessa quantità la media stessa aumenta o è moltiplicata per quella stessa quantità. Come tutti gli indici di posizione, la media aritmetica fornisce l'ordine di grandezza dei valori esistenti e permette di conoscerne la somma dei valori (moltiplicando la media per il numero n{displaystyle n} di elementi).

Oltre che in matematica, la media aritmetica è ampiamente impiegata in svariati campi, quali economia, sociologia e nella maggior parte delle discipline accademiche.

Nonostante la media aritmetica sia spesso usata per fare riferimento alle tendenze, non fornisce un dato statistico robusto in quanto risente notevolmente dei valori anomali (outlier). Per questo si considerano spesso anche altri indici, come la mediana, che sono più robusti rispetto ai valori anomali e si fa un'analisi comparata. Un tentativo di ridurre l'effetto dei valori estremi nel calcolo della media aritmetica è costituito dalla trimmed mean, ovvero un particolare calcolo della media nel quale si considera solo una certa percentuale dei valori più centrali, tralasciando i valori agli estremi di questi. È comune, per esempio, il calcolo della trimmed mean al 50%, che consiste nella media aritmetica del 50% dei valori più centrali, tralasciando dunque il 25% dei valori più piccoli e il 25% di quelli più grandi.

Proprietà della media aritmetica |

La media aritmetica gode delle seguenti proprietà:

• La somma degli scarti di ciascun valore di x dalla media aritmetica è nulla:
  ∑i=1n(xi−Ma)=0{displaystyle sum _{i=1}^{n}(x_{i}-M_{a})=0}
  


• La somma del quadrato degli scarti di ciascun valore di x da una costante c{displaystyle c} è minima quando c{displaystyle c} è pari alla media aritmetica:
  ∑i=1n(xi−c)2minima perc=Ma{displaystyle sum _{i=1}^{n}(x_{i}-c)^{2}quad minima perquad c=M_{a}}
  


• La media aritmetica relativa ad un collettivo di n unità suddiviso in K sottogruppi disgiunti può essere calcolata come la media ponderata delle medie dei sottogruppi, con pesi pari alla loro numerosità:
  Ma=1n∑i=1KMiNi{displaystyle M_{a}={frac {1}{n}}sum _{i=1}^{K}M_{i}N_{i}}
  dove Mi{displaystyle M_{i}} ed Ni{displaystyle N_{i}} rappresentano rispettivamente la media aritmetica e la numerosità dell'i-esimo sottogruppo;


• La media aritmetica M_y di un carattere y ottenuto a partire dalla trasformazione lineare y = ax + b di un carattere x è pari a My=aMx+b{displaystyle M_{y}=aM_{x}+b}, dove M_x è la media aritmetica del carattere x.

Esempio |

Dati cinque numeri:

x1=10x2=13x3=9x4=7x5=12{displaystyle x_{1}=10quad x_{2}=13quad x_{3}=9quad x_{4}=7quad x_{5}=12}

la loro media aritmetica è data da:

Ma=15∑i=15xi=515=10,2{displaystyle M_{a}={frac {1}{5}}sum _{i=1}^{5}x_{i}={frac {51}{5}}=10{,}2}

Media ponderata |

Per calcolare la media ponderata di una serie di dati di cui ogni elemento xi{displaystyle x_{i}} proviene da una differente distribuzione di probabilità con una varianza σi2{displaystyle {sigma _{i}}^{2}} nota, una possibile scelta per i pesi è data da:

wi=1σi2{displaystyle w_{i}={frac {1}{sigma _{i}^{2}}}}

La media ponderata in questo caso è:

x¯=∑i=1nxi/σi2∑i=1n1/σi2{displaystyle {bar {x}}={frac {sum _{i=1}^{n}x_{i}/{sigma _{i}}^{2}}{sum _{i=1}^{n}1/{sigma _{i}}^{2}}}}

e la varianza della media ponderata è:

σx¯2=1∑i=1n1/σi2{displaystyle sigma _{bar {x}}^{2}={frac {1}{sum _{i=1}^{n}1/{sigma _{i}}^{2}}}}

che si riduce a σx¯2=σ02n{displaystyle sigma _{bar {x}}^{2}={frac {{sigma _{0}}^{2}}{n}}} quando tutti i σi=σ0{displaystyle sigma _{i}=sigma _{0}}.

Il significato di tale scelta è che questa media pesata è lo stimatore di massima verosimiglianza della media delle distribuzioni di probabilità nell'ipotesi che esse siano indipendenti e normalmente distribuite con la stessa media.

Media geometrica |

La media geometrica di n{displaystyle n} termini è la radice n{displaystyle n}-esima del prodotto degli n{displaystyle n} valori:

Mg=∏i=1nxin{displaystyle M_{g}={sqrt[{n}]{prod _{i=1}^{n}x_{i}}}}

Sfruttando le proprietà dei logaritmi, l'espressione della media geometrica può essere resa trasformando i prodotti in somme e le potenze in prodotti:

∏i=1nxin=exp⁡[1n∑i=1nln⁡xi]{displaystyle {sqrt[{n}]{prod _{i=1}^{n}x_{i}}}=exp left[{frac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}ln x_{i}right]}

Dalla precedente scrittura si ricava anche una proprietà della media geometrica: il logaritmo della media geometrica è uguale alla media aritmetica dei logaritmi. Infatti, svolgendo il logaritmo su entrambi i lati dell'uguaglianza e ricordando che ln(e)=1{displaystyle ln(e)=1}, si ottiene:

ln∏i=1nxin=1n∑i=1nln⁡xi{displaystyle ln{sqrt[{n}]{prod _{i=1}^{n}x_{i}}}={frac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}ln x_{i}}

Nel caso si disponga della distribuzione di frequenze della variabile, è possibile calcolare più facilmente la media geometrica attraverso la seguente formula:

Mg=∏j=1Kxjnjn{displaystyle M_{g}={sqrt[{n}]{prod _{j=1}^{K}{x_{j}}^{n_{j}}}}}

dove K{displaystyle K}è il numero delle modalità assunte dalla variabile x, xj{displaystyle x_{j}} rappresenta la j-esima modalità di x e nj{displaystyle n_{j}} la corrispondente frequenza assoluta. Dalla precedente si ottiene anche:

Mg=∏j=1Kxjfj{displaystyle M_{g}={prod _{j=1}^{K}{x_{j}}^{f_{j}}}}

Analogamente al caso della media aritmetica, attribuendo un peso ai termini si può calcolare la media geometrica ponderata:

 Mg,pond=∏i=1nxifi(∑i=1nfi){displaystyle M_{g,pond}={sqrt[{left(sum _{i=1}^{n}f_{i}right)}]{prod _{i=1}^{n}x_{i}^{f_{i}}}}}

La media geometrica può essere vista anche come media aritmetico-armonica. Definendo infatti due successioni:

an+1=an+hn2,a0=x{displaystyle a_{n+1}={frac {a_{n}+h_{n}}{2}},quad a_{0}=x}

hn+1=21an+1hn,h0=y{displaystyle h_{n+1}={frac {2}{{frac {1}{a_{n}}}+{frac {1}{h_{n}}}}},quad h_{0}=y}

an{displaystyle a_{n}} e hn{displaystyle h_{n}} convergono alla media geometrica di x{displaystyle x} e y{displaystyle y}.

Infatti le successioni convergono ad un limite comune. Si può infatti osservare che:

aihi=ai+hiai+hihiai=ai+hi1ai+1hi=ai+1hi+1{displaystyle {sqrt {a_{i}h_{i}}}={sqrt {frac {a_{i}+h_{i}}{frac {a_{i}+h_{i}}{h_{i}a_{i}}}}}={sqrt {frac {a_{i}+h_{i}}{{frac {1}{a_{i}}}+{frac {1}{h_{i}}}}}}={sqrt {a_{i+1}h_{i+1}}}}

Lo stesso ragionamento può essere applicato sostituendo le medie aritmetica e armonica con una coppia di medie generalizzate di ordine finito ed opposto.

La media geometrica si applica a valori positivi. Ha un chiaro significato geometrico: ad esempio la media geometrica di due numeri è la lunghezza del lato di un quadrato equivalente ad un rettangolo che abbia i lati di modulo pari ai due numeri. Lo stesso vale in un numero di dimensioni superiore. La media geometrica trova impiego soprattutto dove i valori considerati vengono per loro natura moltiplicati tra di loro e non sommati. Esempio tipico sono i tassi di crescita, come i tassi d'interesse o i tassi d'inflazione.

Una caratteristica è che valori piccoli (rispetto alla media aritmetica) sono molto più influenti dei valori grandi. In particolare, è sufficiente la presenza di un unico valore nullo per annullare la media.

Esempio |

Dati cinque numeri:

x1=10x2=13x3=9x4=7x5=12{displaystyle x_{1}=10quad x_{2}=13quad x_{3}=9quad x_{4}=7quad x_{5}=12}

la loro media geometrica è data da:

Mg=∏i=15xi5=10⋅13⋅9⋅7⋅125=982805≈9,97{displaystyle M_{g}={sqrt[{5}]{prod _{i=1}^{5}x_{i}}}={sqrt[{5}]{10cdot 13cdot 9cdot 7cdot 12}}={sqrt[{5}]{98,280}}approx 9{,}97}

Media armonica |

.mw-parser-output .vedi-anche{border:1px solid #CCC;font-size:95%;margin-bottom:.5em}.mw-parser-output .vedi-anche td:first-child{padding:0 .5em}.mw-parser-output .vedi-anche td:last-child{width:100%}

Lo stesso argomento in dettaglio: Media armonica.

La media armonica di n{displaystyle n} termini è definita come il reciproco della media aritmetica dei reciproci:^[4]

Mh=n∑i=1n1xi{displaystyle M_{h}={frac {n}{sum _{i=1}^{n}{frac {1}{x_{i}}}}}}

Per praticità di calcolo si può applicare la seguente formula, ottenuta tramite le proprietà di somme e prodotti:

Mh=n⋅∏i=1nxi∑j=1n∏i=1nxixj{displaystyle M_{h}={frac {ncdot prod _{i=1}^{n}x_{i}}{sum _{j=1}^{n}{frac {prod _{i=1}^{n}x_{i}}{x_{j}}}}}}

Se a un insieme di dati è associato un insieme di pesi w1…wn{displaystyle w_{1}dots w_{n}}, è possibile definire la media armonica ponderata come:

∑i=1nwi∑i=1nwixi{displaystyle {frac {sum _{i=1}^{n}w_{i}}{sum _{i=1}^{n}{frac {w_{i}}{x_{i}}}}}}

La media armonica semplice rappresenta un caso particolare, nel quale tutti i pesi hanno valore unitario.

La media armonica è fortemente influenzata dagli elementi di modulo minore: rispetto alla media aritmetica risente meno dell'influenza di outlier grandi, ma è influenzata notevolmente dagli outlier piccoli.

Esempio |

Dati cinque numeri:

x1=10x2=13x3=9x4=7x5=12{displaystyle x_{1}=10quad x_{2}=13quad x_{3}=9quad x_{4}=7quad x_{5}=12}

la loro media armonica è data da:

Mh=5∑i=151xi≈50,51≈9,72{displaystyle M_{h}={frac {5}{sum _{i=1}^{5}{frac {1}{x_{i}}}}}approx {frac {5}{0{,}51}}approx 9{,}72}

Media di potenza |

La media di potenza (o media generalizzata o media di Hölder o media p{displaystyle p}-esima) rappresenta una generalizzazione delle medie pitagoriche. È definita come la radice p{displaystyle p}-esima della media aritmetica delle potenze di esponente p{displaystyle p} degli n{displaystyle n} valori considerati:

Mp(x1,…,xn)=(1n∑i=1nxip)1p{displaystyle M_{p}(x_{1},dots ,x_{n})=left({{frac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}}right)^{frac {1}{p}}}

Molte altre tipologie di media sono casi particolari della media generalizzata, per opportuni valori di p{displaystyle p}:

• media aritmetica, per p=1{displaystyle p=1};


• media geometrica, per p→0{displaystyle prightarrow 0};


• media armonica, per p=−1{displaystyle p=-1};


• media quadratica, per p=2{displaystyle p=2} (usata soprattutto in presenza di numeri negativi per eliminare i segni);


• media cubica, per p=3{displaystyle p=3}.

Inoltre:

• M+∞(x1,…,xn)=max{x1,…,xn}{displaystyle M_{+infty }(x_{1},dots ,x_{n})=max{x_{1},ldots ,x_{n}}}


• M−∞(x1,…,xn)=min{x1,…,xn}{displaystyle M_{-infty }(x_{1},dots ,x_{n})=min{x_{1},ldots ,x_{n}}}

Ad ogni termine può essere associato un coefficiente detto peso, in genere rappresentato dalla frequenza oppure da un valore il quale descrive l'importanza (oggettiva o soggettiva) che il singolo elemento riveste nella distribuzione. Se ai dati in esame si assegna un insieme di pesi wi{displaystyle w_{i}}, tali che w=∑wi{displaystyle w=sum w_{i}}, è possibile definire la media pesata:

Mp(x1,…,xn)=(1w∑i=1nwixip)1p.{displaystyle M_{p}(x_{1},dots ,x_{n})=left({{frac {1}{w}}sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}right)^{frac {1}{p}}.}

Media aritmetico-geometrica |

La media aritmetico-geometrica (AGM) di due numeri reali positivi x{displaystyle x} e y{displaystyle y} è definita come limite comune di due successioni definite come segue.

Si determinano la media aritmetica a1{displaystyle a_{1}} e la media geometrica g1{displaystyle g_{1}} di x{displaystyle x} e y{displaystyle y}

a1=12(x+y){displaystyle a_{1}={frac {1}{2}}(x+y)}

g1=xy{displaystyle g_{1}={sqrt {xy}}}.

Quindi si itera il procedimento, sostituendo a1{displaystyle a_{1}} ad x{displaystyle x} e g1{displaystyle g_{1}} a y{displaystyle y}. In questo modo si ottengono due successioni:

an+1=12(an+gn){displaystyle a_{n+1}={frac {1}{2}}(a_{n}+g_{n})}

gn+1=angn{displaystyle g_{n+1}={sqrt {a_{n}g_{n}}}}

Le due successioni sono convergenti e hanno limite comune, detto media aritmetico-geometrica di x{displaystyle x} e y{displaystyle y}, indicata come M(x,y){displaystyle mathrm {M} (x,y)} o talvolta come agm(x,y){displaystyle mathrm {agm} (x,y)}.

La media geometrica di due numeri è sempre minore della media aritmetica, di conseguenza gn{displaystyle g_{n}} è una successione crescente, an{displaystyle a_{n}} è decrescente e si ha gn≤M(x,y)≤an{displaystyle g_{n}leq mathrm {M} (x,y)leq a_{n}} (le disuguaglianze sono strette se x≠y{displaystyle xneq y}).

Quindi M(x,y){displaystyle mathrm {M} (x,y)} è un numero compreso fra la media aritmetica e la media geometrica di x{displaystyle x} e y{displaystyle y}.

Inoltre, dato un numero reale r≥0{displaystyle rgeq 0}, vale la relazione

M(rx,ry)=rM(x,y){displaystyle mathrm {M} (rx,ry)=rmathrm {M} (x,y)}

Esiste anche una espressione in forma integrale di M(x,y){displaystyle mathrm {M} (x,y)}:

M(x,y)=π4(x+y)/K[(x−yx+y)2]{displaystyle mathrm {M} (x,y)={frac {pi }{4}}(x+y);/;K!left[left({frac {x-y}{x+y}}right)^{2}right]}

dove K(m){displaystyle K(m)} rappresenta l'integrale ellittico completo di prima specie:

K(m)=∫0π2dθ1−m2sen2(θ){displaystyle K(m)=int _{0}^{frac {pi }{2}}{frac {dtheta }{sqrt {1-m^{2},mathrm {sen} ^{2}(theta )}}}}

Inoltre, poiché la media aritmetico-geometrica converge piuttosto rapidamente, la formula precedente è utile anche nel calcolo degli integrali ellittici.

Il reciproco della media aritmetico-geometrica di 1{displaystyle 1} e 2{displaystyle {sqrt {2}}} è chiamata costante di Gauss, in onore del matematico tedesco Carl Friedrich Gauss.

1M(1,2)=G=0,8346268…{displaystyle {frac {1}{mathrm {M} (1,{sqrt {2}})}}=G=0{,}8346268dots }

Media integrale |

Una generalizzazione del concetto di media a distribuzioni continue prevede l'uso di integrali.
Supponiamo di avere una funzione f:[a,b]→R{displaystyle f:[a,b]rightarrow mathbb {R} }, integrabile. Allora si può definire la media μ{displaystyle mu } come:

μ=1b−a∫abf(x)dx{displaystyle mu ={frac {1}{b-a}}int _{a}^{b}f(x)dx}

Data inoltre una funzione p:[a,b]→R{displaystyle pcolon [a,b]to mathbb {R} } tale che p(x)>0{displaystyle p(x)!>!0}, detta peso, si può definire la media integrale pesata μp{displaystyle mu _{p}} come:

μp=∫abp(x)f(x)dx∫abp(x)dx{displaystyle mu _{p}={frac {int _{a}^{b}p(x)f(x)dx}{int _{a}^{b}p(x)dx}}}

Più in generale data una funzione f:Ω→R{displaystyle fcolon Omega to mathbb {R} } dove Ω{displaystyle Omega } è un insieme sul quale è definita una funzione di integrazione, si definisce la media μ{displaystyle mu } come:

μ=∫Ωf(x)dx∫Ωdx{displaystyle mu ={frac {int _{Omega }f(x)dx}{int _{Omega }dx}}}

Media temporale |

La media temporale, spesso usata nella trattazione di segnali, è chiamata componente continua. Si tratta della media integrale calcolata in un intervallo di tempo tendente all'infinito.

⟨x⟩(t2,t1)=1t2−t1∫t1t2x(t)dt{displaystyle langle xrangle _{(t_{2},t_{1})}={frac {1}{t_{2}-t_{1}}}int _{t_{1}}^{t_{2}}x(t)dt}.

per: t2−t1=T0→+∞{displaystyle t_{2}-t_{1}=T_{0}to +infty }

Definizione di Chisini |

Lo stesso argomento in dettaglio: Media Chisini.

Oscar Chisini ha formalizzato una definizione generale di media ampiamente accettata, che riflette la relatività del concetto di media rispetto al particolare fenomeno in analisi.

Dato un campione (x1,x2,…,xn){displaystyle (x_{1},x_{2},dots ,x_{n})} di numerosità n{displaystyle n} e una funzione f{displaystyle f} in n{displaystyle n} variabili, la media delle xi{displaystyle x_{i}} rispetto a f{displaystyle f} è definita come quell'unico numero M{displaystyle M}, se esiste, tale che sostituendolo a tutte le variabili il valore della funzione rimane inalterato:

f(x1,x2,…,xn)=f(M,M,…,M).{displaystyle f(x_{1},x_{2},dots ,x_{n})=f(M,M,dots ,M).}

Le medie comunemente impiegate (aritmetica, geometrica, armonica, di potenza) sono casi particolari ottenibili tramite questa definizione, per una funzione f{displaystyle f} opportuna^[5].

Note |

Bibliografia |

• G. Leti (1983): Statistica descrittiva, Bologna, Il Mulino, ISBN 88-15-00278-2.


• M. Ross Sheldon, Introduzione alla statistica, 2ª ed., Maggioli Editore, 2014, ISBN 8891602671.

Voci correlate |

• Valore atteso


• Varianza


• Covarianza (probabilità)


• Mediana (statistica)


• Moda (statistica)


• Momento (statistica)


• Variabile (statistica)


• Trimmed mean


• Disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica

Collegamenti esterni |

• 
  Calcolo della media pesata - Sito italiano che permette di eseguire online il calcolo della media, anche pesata, di una serie di dati.


• 
  Calcolo della media ponderata - Sito che permette il calcolo della media ponderata e aritmetica con possibilità di grafici e statistiche.

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V · D · M Statistica
Statistica descrittiva	Media (aritmetica · geometrica · armonica) · Mediana · Moda · Intervallo di variazione · Varianza · Deviazione standard · Simmetria · Curtosi
Inferenza statistica	Test di verifica d'ipotesi · Significatività · Ipotesi nulla/alternativa · Errore del I e del II tipo · Test Q · Test U · Test t · Test Z · Massima verosimiglianza · Standardizzazione · Valore p · Analisi della varianza
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