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Disambiguazione – Se stai cercando la formula relativa al calcolo di π, vedi Formula di Viète.

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In matematica, più specificatamente in algebra, le formule di Viète, denominate così da François Viète (1540-1603), sono formule che mettono in relazione le radici di un polinomio con i suoi coefficienti.

Queste formule sono conosciute anche con il nome di formule di Viète-Girard poiché un importante contributo viene anche dal lavoro del matematico Albert Girard (1590-1633).

Le formule |

Se

P(X)=anXn+an−1Xn−1+⋯+a1X+a0{displaystyle P(X)=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+cdots +a_{1}X+a_{0}}

è un polinomio di grado n≥1{displaystyle ngeq 1} con coefficienti complessi
(cioè i numeri a0,a1,…,an−1,an{displaystyle a_{0},a_{1},dots ,a_{n-1},a_{n}} sono complessi con an≠0{displaystyle a_{n}neq 0}), per il teorema fondamentale dell'algebra P(X){displaystyle P(X)} ha n{displaystyle n} radici complesse (non necessariamente distinte) x1,x2,…,xn.{displaystyle x_{1},x_{2},dots ,x_{n}.}

Le formule di Viète affermano che

x1+x2+⋯+xn=−an−1an{displaystyle x_{1}+x_{2}+cdots +x_{n}=-{frac {a_{n-1}}{a_{n}}}}

(x1x2+x1x3+⋯+x1xn)+(x2x3+x2x4+⋯+x2xn)+⋯+xn−1xn=an−2an{displaystyle (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+cdots +x_{2}x_{n})+cdots +x_{n-1}x_{n}={frac {a_{n-2}}{a_{n}}}}

⋯{displaystyle cdots }

x1x2⋯xn=(−1)na0an.{displaystyle x_{1}x_{2}cdots x_{n}=(-1)^{n}{frac {a_{0}}{a_{n}}}.}

Queste formule possono essere messe sotto un'unica forma

∑1≤i1<i2<⋯<ik≤nxi1xi2⋯xik=(−1)kan−kan{displaystyle sum _{1leq i_{1}<i_{2}<cdots <i_{k}leq n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}cdots x_{i_{k}}=(-1)^{k}{frac {a_{n-k}}{a_{n}}}}

per ogni k=1,2,…,n{displaystyle k=1,2,dots ,n} .
In altre parole, la somma di tutti i possibili prodotti di k{displaystyle k} radici di P(X){displaystyle P(X)} (con gli indici, di ogni prodotto, in ordine crescente così da evitare ripetizioni di monomi) equivale a (−1)kan−kan,{displaystyle (-1)^{k}{frac {a_{n-k}}{a_{n}}},}

Questa formula di Viète vale, in forma più generale, per i polinomi con coefficienti in un qualsiasi anello commutativo, poiché in un tale anello un polinomio di grado n{displaystyle n} ha n{displaystyle n} radici.

Esempio |

Per un polinomio di secondo grado P(X)=aX2+bX+c{displaystyle P(X)=aX^{2}+bX+c}, la formula di Viète afferma che le soluzioni x1{displaystyle x_{1}} e x2{displaystyle x_{2}} dell'equazione P(X)=0{displaystyle P(X)=0} soddisfano

x1+x2=−ba,x1x2=ca.{displaystyle x_{1}+x_{2}=-{frac {b}{a}},quad x_{1}x_{2}={frac {c}{a}}.}

La prima di queste equazioni può essere usata per trovare il minimo (o il massimo) di P. Fai riferimento a polinomio di secondo ordine.

Dimostrazione |

La formula di Viète può essere dimostrata rielaborando l'uguaglianza

anXn+an−1Xn−1+⋯+a1X+a0=an(X−x1)(X−x2)⋯(X−xn){displaystyle a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+cdots +a_{1}X+a_{0}=a_{n}(X-x_{1})(X-x_{2})cdots (X-x_{n})} ;

questa è vera poiché x1,x2,…,xn{displaystyle x_{1},x_{2},dots ,x_{n}} sono tutte e sole le radici del polinomio in esame. Si tratta poi di sviluppare il prodotto al secondo membro dell'equazione e di identificare i coefficienti di ogni potenza della variabile X.{displaystyle X.}

Applicazioni |

Teorema binomiale |

Queste formule possono essere usate per dimostrare il teorema binomiale. Il polinomio (x+y)n{displaystyle (x+y)^{n}} avrà infatti N{displaystyle N} radici coincidenti (in particolare =−y{displaystyle =-y}). Poiché evidentemente il coefficiente di grado n{displaystyle n} è 1{displaystyle 1}, dalle formule di Viète si avrà che:

(−y)+(−y)+⋯+(−y)=−an−1{displaystyle (-y)+(-y)+cdots +(-y)=-a_{n-1}}

(y2+y2+⋯+y2)+(y2+y2+⋯+y2)+⋯+y2=an−2{displaystyle (y^{2}+y^{2}+cdots +y^{2})+(y^{2}+y^{2}+cdots +y^{2})+cdots +y^{2}=a_{n-2}}

⋯{displaystyle cdots }

yn=a0{displaystyle y^{n}=a_{0}}

Il numero dei termini con ya{displaystyle y^{a}} da sommare in un membro è uguale a tutti i gruppi di a{displaystyle a} termini su n{displaystyle n} che si possono formare. Tale numero corrisponde a:

(na){displaystyle {n choose a}}

così le formule precedenti si possono riformulare nel seguente modo:

−(n1)y1=−an−1(n2)y2=an−2−(n3)y3=−an−3…(n0)yn=a0.{displaystyle {begin{aligned}-{n choose 1}y^{1}&=-a_{n-1}\{n choose 2}y^{2}&=a_{n-2}\-{n choose 3}y^{3}&=-a_{n-3}\dots \{n choose 0}y^{n}&=a_{0}.end{aligned}}}

Quindi, moltiplicando eventualmente per −1{displaystyle -1} entrambi i termini abbiamo che:

(nk)yk=an−k{displaystyle {n choose k}y^{k}=a_{n-k}}

Ossia:

(x+y)n=∑k=0nan−kxn−k=∑k=0n(nk)xn−kyk{displaystyle (x+y)_{}^{n}=sum _{k=0}^{n}a_{n-k}x^{n-k}=sum _{k=0}^{n}{n choose k}x^{n-k}y^{k}}

Coefficiente del termine di primo grado |

Tramite queste formule si arriva a un risultato molto importante usato anche da Eulero nella sua soluzione del problema di Basilea, riguardante il coefficiente di primo grado. Infatti esso, per le formule di Viète, sarà uguale alla somma di tutti i termini formati dal prodotto di n−1{displaystyle n-1} radici cambiate di segno, moltiplicata per il coefficiente di n{displaystyle n}-esimo grado; ossia:

(−1)n−1a1an=x2x3…xn+x1x3…xn+x1x2x4…xn+⋯+x1x2x3…xn−1{displaystyle (-1)^{n-1}{frac {a_{1}}{a_{n}}}=x_{2}x_{3}dots x_{n}+x_{1}x_{3}dots x_{n}+x_{1}x_{2}x_{4}dots x_{n}+dots +x_{1}x_{2}x_{3}dots x_{n-1}}

Se il termine costante è diverso da 0, si può dividere tutta l'espressione cambiata di segno per esso, che vale (sempre per le formule di Viète):

(−1)na0an=x1x2x3…xn{displaystyle (-1)^{n}{frac {a_{0}}{a_{n}}}=x_{1}x_{2}x_{3}dots x_{n}}

E si ottiene:

−a1a0=−(x2x3…xn+x1x3…xn+x1x2x4…xn+⋯+x1x2x3…xn−1)(−1)nan(x1x2x3…xn)(−1)n−1an={displaystyle {frac {-a_{1}}{a_{0}}}={frac {-(x_{2}x_{3}dots x_{n}+x_{1}x_{3}dots x_{n}+x_{1}x_{2}x_{4}dots x_{n}+dots +x_{1}x_{2}x_{3}dots x_{n-1})(-1)^{n}a_{n}}{(x_{1}x_{2}x_{3}dots x_{n})(-1)^{n-1}a_{n}}}=}

=x2x3…xn+x1x3…xn+x1x2x4…xn+⋯+x1x2x3…xn−1x1x2x3…xn=1x1+1x2+1x3+…1xn{displaystyle ={frac {x_{2}x_{3}dots x_{n}+x_{1}x_{3}dots x_{n}+x_{1}x_{2}x_{4}dots x_{n}+dots +x_{1}x_{2}x_{3}dots x_{n-1}}{x_{1}x_{2}x_{3}dots x_{n}}}={frac {1}{x_{1}}}+{frac {1}{x_{2}}}+{frac {1}{x_{3}}}+dots {frac {1}{x_{n}}}}

L'opposto del rapporto tra coefficiente di primo grado e termine noto è uguale alla somma dei reciproci delle radici. Da ciò deriva che, se un polinomio ha il termine costante uguale a 1, la somma dei reciproci delle sue radici è uguale al coefficiente del termine lineare cambiato di segno.

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