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Una circonferenza

Illustrazione di un cerchio: la circonferenza (C) è disegnata in nero, il diametro (D) in ciano, il raggio (R) in rosso, e il centro (O) in magenta. Circonferenza = π × diametro =
= 2 × π × raggio = [metri / centimetri].

Il rapporto tra la lunghezza della circonferenza di una ruota e il suo diametro è π

In geometria una circonferenza è il luogo geometrico di punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro. La distanza da qualsiasi punto della circonferenza dal centro si definisce raggio.

Le circonferenze sono curve chiuse semplici che dividono il piano in una superficie interna ed una esterna (infinita).
La superficie del piano contenuta in una circonferenza, insieme alla circonferenza stessa, prende il nome di cerchio, per cui:

• la circonferenza è un perimetro (una linea curva chiusa, misurata in centimetri o in metri),


• il cerchio è l'area (misurata in centimetri quadrati o metri quadrati).

Per le altre superfici del piano geometrico, la lingua italiana non distingue l'area e il perimetro con due parole differenti. In inglese, oltre alle corrispondenti circumference e circle, la parola disk indica una regione del piano con alcune importanti proprietà, che può essere chiusa, oppure aperta, se non contiene il cerchio che essa delimita. Nota la circonferenza di un cerchio, per qualsiasi superficie (chiusa) del piano geometrico si può disegnare una circonferenza inscritta ed una circonferenza circoscritta.

La circonferenza è il caso particolare di una ellisse, in cui i due fuochi coincidono in uno stesso punto, che è il centro della circonferenza: l'ellisse ha due centri (detti fuochi), la circonferenza ha invece un solo centro. Si dice quindi che la circonferenza ha eccentricità nulla.

Ugualmente, la formula di calcolo per l'area del cerchio è un caso particolare della formula per l'area di un'ellisse.

Mediante il calcolo delle variazioni si dimostra che la circonferenza è la Figura piana che delimita la massima area per unità di perimetro quadrato.

Una circonferenza è inoltre un particolare caso di simmetria centrale, dal momento che tutti i punti della circonferenza sono equidistanti dal centro della stessa.

La formula per trovare la lunghezza della circonferenza è:

Crf=2⋅π⋅r{displaystyle mathrm {Crf} =2cdot pi cdot r}

oppure:

Crf=d⋅π{displaystyle mathrm {Crf} =dcdot pi }

Dove:

• 
  Crf{displaystyle mathrm {Crf} } sta per circonferenza;


• 
  π{displaystyle pi } sta per pi greco (π=3,141592653589793…{displaystyle pi =3{,}141592653589793ldots });


• 
  r{displaystyle r} sta per raggio del cerchio;


• 
  d{displaystyle d} sta per diametro del cerchio.

Circonferenza nel piano cartesiano |

In geometria analitica una circonferenza in un piano può essere descritta utilmente sia mediante le coordinate cartesiane, sia mediante le coordinate polari, sia in forma parametrica.

Equazione cartesiana della circonferenza |

In un sistema di riferimento cartesiano Oxy{displaystyle Oxy}, la circonferenza di centro (α,β){displaystyle (alpha ,beta )} e raggio r{displaystyle r} è il luogo dei punti caratterizzati dall'equazione:

(x−α)2+(y−β)2=r2{displaystyle (x-alpha )^{2}+(y-beta )^{2}=r^{2}},

cioè è l'insieme di tutti e soli i punti che distano r{displaystyle r} da (α,β){displaystyle (alpha ,beta )}.

All'equazione più generale si dà spesso la forma canonica:

x2+y2+ax+by+c=0{displaystyle x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0},

collegata alla precedente dalle seguenti eguaglianze:

−a2=α{displaystyle -{frac {a}{2}}=alpha }, equivalente a: a=−2α{displaystyle a=-2alpha }

−b2=β{displaystyle -{frac {b}{2}}=beta }, equivalente a: b=−2β{displaystyle b=-2beta }

c=α2+β2−r2{displaystyle c=alpha ^{2}+beta ^{2}-r^{2}}, o equivalentemente α2+β2−c=r{displaystyle {sqrt {alpha ^{2}+beta ^{2}-c}}=r}.

Da ciò segue che se α2+β2−c=0{displaystyle alpha ^{2}+beta ^{2}-c=0} la circonferenza degenera in un solo punto, (α,β){displaystyle (alpha ,beta )}, se α2+β2−c<0{displaystyle alpha ^{2}+beta ^{2}-c<0} il luogo geometrico (nel piano cartesiano reale) descritto dall'equazione non è una circonferenza, ma l'insieme vuoto.

Se il centro della circonferenza è l'origine (0,0){displaystyle (0,0)}, l'equazione diventa:

x2+y2=r2{displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}.

Se la circonferenza passa per l'origine (0,0){displaystyle (0,0)}, c=0{displaystyle c=0} e l'equazione diventa:

x2+y2+ax+by=0{displaystyle x^{2}+y^{2}+ax+by=0}.

Se la circonferenza ha centro sull'asse x, b=0{displaystyle b=0} e l'equazione diventa:

x2+y2+ax+c=0{displaystyle x^{2}+y^{2}+ax+c=0}.

Se la circonferenza ha centro sull'asse y, a=0{displaystyle a=0} e l'equazione diventa:

x2+y2+by+c=0{displaystyle x^{2}+y^{2}+by+c=0}.

Equazione in coordinate polari |

Nelle coordinate polari ρ{displaystyle rho } e θ{displaystyle theta } l'equazione della circonferenza con centro nell'origine e raggio r{displaystyle r} è evidentemente data dall'equazione:

ρ=r .{displaystyle rho =r~.}

Equazione parametrica |

Una circonferenza C{displaystyle C} il cui centro ha coordinate (x0,y0){displaystyle (x_{0},y_{0})} e raggio R{displaystyle R} viene descritta con la seguente forma parametrica:

C:{x=x0+Rcos⁡(t)t∈[0;2π]y=y0+R sin⁡(t){displaystyle C:left{{begin{matrix}x=x_{0}+R,cos(t)&\&tin [0;2pi ]\y=y_{0}+R sin(t)&end{matrix}}right.}

Problemi classici della circonferenza nel piano cartesiano |

Circonferenza di cui è noto il centro e il raggio |

Basta usare l'equazione (x−α)2+(y−β)2=r2{displaystyle (x-alpha )^{2}+(y-beta )^{2}=r^{2}}.
A questo problema sono riconducibili anche i seguenti

1. è noto un diametro della circonferenza: il diametro è il doppio del raggio e il centro è il punto medio del diametro


2. sono noti due punti della circonferenza e una retta su cui sta il centro: l'asse di una corda passa sempre per il centro della circonferenza

Circonferenza per tre punti |

Metodo geometrico

Basta ricordare che l'asse di una corda passa sempre per il centro della circonferenza. La procedura risolutiva è la seguente:

• si costruiscono gli assi di due corde;


• si fa il sistema tra le equazioni dei due assi;


• la soluzione del sistema è il centro della circonferenza;


• a questo punto si può calcolare il raggio.

Metodo algebrico

Il problema ha tre incognite: i coefficienti a,b,c{displaystyle a,b,c} dell'equazione canonica della circonferenza x2+y2+ax+by+c=0{displaystyle x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0}.
Si impone il passaggio per i tre punti dati dal problema e si ottiene un sistema lineare in tre equazioni e tre incognite a,b,c{displaystyle a,b,c}.

Rette tangenti condotte da un punto esterno |

Metodo geometrico

Basta ricordare che la distanza della retta tangente dal centro è pari al raggio della circonferenza stessa. La procedura risolutiva è la seguente:

• si costruisce un fascio proprio di rette con centro il punto esterno;


• si impone che la distanza delle rette del fascio dal centro della circonferenza sia uguale al raggio.

Metodo algebrico

Basta ricordare che in un sistema di secondo grado (retta-circonferenza) la condizione di tangenza si ha quando il sistema ammette due soluzioni reali e coincidenti, cioè quando l'equazione associata di secondo grado al sistema ha Δ=0{displaystyle Delta =0}.

Retta tangente su un punto della circonferenza |

Questo problema è risolto ricordando che la retta tangente alla circonferenza è perpendicolare al raggio nel suo punto di tangenza. Quindi, salvo casi particolari in cui la tangente è parallela all'asse y, la procedura risolutiva è la seguente:

• si calcola il coefficiente angolare della retta del raggio che ha per estremo il punto di tangenza;


• si calcola il coefficiente angolare della perpendicolare a tale raggio;


• e quindi si calcola l'equazione della retta perpendicolare passante per il punto di tangenza.

Alternativamente è sufficiente usare la formula di sdoppiamento della circonferenza, così l'equazione della retta tangente alla circonferenza x2+y2+ax+by+c=0{displaystyle x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0} nel punto (x0,y0){displaystyle (x_{0},y_{0})} è semplicemente l'equazione

xx0+yy0+ax+x02+by+y02+c=0,{displaystyle xx_{0}+yy_{0}+a{frac {x+x_{0}}{2}}+b{frac {y+y_{0}}{2}}+c=0,}

dove x0,y0,a,b,c{displaystyle x_{0},y_{0},a,b,c} sono dati.

Circonferenza nel piano complesso |

Nel piano complesso una circonferenza di centro l'origine e raggio R{displaystyle R} può essere espressa dall'equazione parametrica

z(t)=Reit{displaystyle z(t)=Re^{it}}

per t∈[0,2π]{displaystyle tin [0,2pi ]}.
Per rendersi conto che tale formula descrive una circonferenza è sufficiente considerare le equazioni parametriche descritte sopra e confrontarle con la formula di Eulero.

Circonferenza nello spazio |

È possibile descrivere una circonferenza nello spazio come intersezione di una sfera S con un piano π{displaystyle pi }. Per calcolare il raggio di una circonferenza descritta nel seguente modo si può utilizzare il teorema di Pitagora:

• si calcola la distanza d(π,P){displaystyle d(pi ,P)} del piano π{displaystyle pi } dal centro della sfera S
  


• detto R il raggio della sfera S, il raggio rc{displaystyle r_{c}} della circonferenza vale

rc=R2−d2(π,P){displaystyle r_{c}={sqrt {R^{2}-d^{2}(pi ,P)}}}.

Esempio

La circonferenza

C:{x+y+z=1x2+y2+z2=4{displaystyle C:left{{begin{matrix}x+y+z=1\x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\end{matrix}}right.}

è l'intersezione del piano

π:x+y+z=1,{displaystyle pi :x+y+z=1,}

con la sfera S di centro origine e raggio 2.
La distanza del centro della sfera dal piano vale 13{displaystyle {frac {1}{sqrt {3}}}}.
La distanza del centro della sfera dal piano è minore del raggio della sfera. Quindi il piano π{displaystyle pi } interseca la sfera S. A questo punto il raggio rc{displaystyle r_{c}} della circonferenza si calcola utilizzando il teorema di Pitagora:

rc=4−13=113{displaystyle r_{c}={sqrt {4-{frac {1}{3}}}}={sqrt {frac {11}{3}}}}

Componenti della circonferenza e loro proprietà |

Tutte le circonferenze sono simili; di conseguenza, la circonferenza è proporzionale al raggio:

Lunghezza della circonferenza =2πr.{displaystyle 2pi r.}

Una retta che incontra una circonferenza in due punti si chiama secante, mentre una che tocca la circonferenza in un solo punto, chiamato punto di tangenza, si chiama tangente. Il raggio che congiunge il centro della circonferenza con il punto di tangenza è sempre perpendicolare alla tangente. Presi due punti sulla circonferenza, questi dividono la circonferenza in due archi. Se i due archi sono della stessa lunghezza si chiamano semicirconferenze. Il segmento che congiunge due punti sulla circonferenza si chiama corda. La corda di lunghezza massima, che passa per il centro, si chiama diametro, ed equivale al doppio del raggio.

Per due punti passano infinite circonferenze, ed il luogo dei loro centri è l'asse del segmento che congiunge i due punti. La perpendicolare condotta dal centro di una circonferenza a una sua corda la divide a metà. Due corde congruenti hanno la stessa distanza dal centro. Se da un punto P{displaystyle P}, esterno a una circonferenza di centro O{displaystyle O} si tracciano le rette r{displaystyle r} e s{displaystyle s} a essa tangenti, i segmenti di tangente compresi tra P{displaystyle P} e i punti di contatto con la circonferenza sono congruenti e il segmento OP{displaystyle OP} è bisettrice dell'angolo rs{displaystyle rs} di vertice P{displaystyle P}.

Per tre punti non allineati passa una ed una sola circonferenza, il cui centro coincide con l'intersezione degli assi dei segmenti che congiungono i punti. L'equazione della circonferenza passante per i punti (x1,y1){displaystyle (x_{1},y_{1})}, (x2,y2){displaystyle (x_{2},y_{2})}, (x3,y3){displaystyle (x_{3},y_{3})} si può esprimere nel seguente modo:

det[xyx2+y21x1y1x12+y121x2y2x22+y221x3y3x32+y321]=0.{displaystyle det {begin{bmatrix}x&y&x^{2}+y^{2}&1\x_{1}&y_{1}&x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&1\x_{2}&y_{2}&x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&1\x_{3}&y_{3}&x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&1\end{bmatrix}}=0.}

dove l'espressione a sinistra è il determinante della matrice.

Asse radicale |

Date due circonferenze che si intersecano, si definisce asse radicale^[1] la retta passante per i due punti in comune (punti base). Con semplici calcoli, partendo dall'equazione canonica e indicando con apici i coefficienti della seconda circonferenza, si ottiene che questa retta ha equazione (a−a′)x+(b−b′)y+(c−c′)=0{displaystyle (a-a')x+(b-b')y+(c-c')=0} ed è perpendicolare alla retta che congiunge i centri delle circonferenze. La definizione si estende facilmente al caso di circonferenze tangenti, chiamando asse radicale la retta tangente alle due circonferenze nel punto comune. Questo concetto può essere ulteriormente generalizzato considerando i fasci di circonferenze. Approccio che, tra l'altro, permette di trattare unitariamente i suddetti casi^[2].

Topologia |

Una circonferenza topologica si ottiene considerando un intervallo chiuso sulla retta reale e dotandolo della topologia quoziente che si ha identificando gli estremi.

La circonferenza è dotata di una naturale struttura di varietà differenziabile di dimensione 1, è uno spazio compatto e connesso ma non semplicemente connesso, infatti il suo gruppo fondamentale è il gruppo Z{displaystyle mathbb {Z} } dei numeri interi.

Struttura di gruppo |

La circonferenza è naturalmente dotata della struttura algebrica di gruppo: possiamo identificare ogni punto della circonferenza con l'angolo che esso forma rispetto ad una semiretta prefissata (in genere l'asse delle ascisse in un sistema di riferimento cartesiano) e definire la somma di due punti individuati dagli angoli α{displaystyle alpha } e β{displaystyle beta } come il punto individuato dall'angolo α+β{displaystyle alpha +beta }. È immediato verificare che la circonferenza dotata di questa operazione verifica le proprietà di un gruppo e che come gruppo è isomorfo al gruppo quoziente R/Z{displaystyle mathbb {R} /mathbb {Z} }.

La circonferenza è un esempio di gruppo di Lie.

Note |

Voci correlate |

• Cerchio


• Circonferenza goniometrica


• Circonferenza unitaria


• Costruzione di Specht


• Fascio di circonferenze


• Partizione di Andrzej Szulkin


• Catena di Steiner

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Collegamenti esterni |

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• 
  Circonferenza, su thes.bncf.firenze.sbn.it, Biblioteca Nazionale Centrale di Firenze.
  

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