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La teoria delle categorie è una teoria matematica che studia in modo astratto le strutture matematiche e le relazioni tra esse. La nozione di categoria fu introdotta per la prima volta da Samuel Eilenberg e Saunders Mac Lane nel 1945 nell'ambito della topologia algebrica.
Le categorie ora appaiono in molte discipline della matematica e in alcune aree dell'informatica teorica e della fisica matematica costituendo una nozione unificante.
Informalmente, una categoria è costituita da determinate strutture matematiche e dalle mappe tra esse che ne conservano le operazioni.

Categorie |

Definizione |

Una categoria C consiste di:

• una classe Ob(C) i cui elementi sono chiamati oggetti
  


• una classe Mor(C) i cui elementi sono chiamati morfismi o mappe. Ogni morfismo ha associati un unico oggetto sorgente a e un unico oggetto destinazione b in Ob(C). La scrittura f: a → b indica che f è un morfismo con sorgente a e destinazione b. L'insieme di tutti i morfismi da a a b è indicato con Mor(a,b)


• per ogni terna di oggetti a, b e c, è definita un'operazione binaria: Mor(b,c) × Mor(a,b) → Mor(a,c), chiamata composizione di morfismi. La composizione di f: b → c con g: a → b si indica con f ∘ g: a → c (talvolta si indica semplicemente fg). La composizione deve soddisfare i seguenti assiomi:

• (associatività) se f: a → b, g: b → c e h: c → d, allora h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f
  


• (identità) per ogni oggetto x esiste un morfismo id_x: x → x , chiamato morfismo identità per x, tale che per ogni morfismo f : a → b vale id_b ∘ f = f = f ∘ id_a:

Dagli assiomi si deduce che ad ogni oggetto è associato un unico morfismo identità. Questo permette di dare una definizione diversa di categoria, data dalla sola classe dei morfismi: gli oggetti vengono identificati a posteriori con i corrispondenti morfismi identità.

Una categoria si dice piccola se la classe degli oggetti è un insieme e grande se è una classe propria. Molte importanti categorie sono grandi.

Esempi |

Negli esempi le categorie sono indicate tramite i loro oggetti e i corrispondenti morfismi.

• Gli insiemi e le funzioni tra essi


• I monoidi e gli omomorfismi tra essi


• I gruppi coi loro omomorfismi
  


• Gli spazi vettoriali e le funzioni lineari
  


• Gli spazi topologici e le funzioni continue
  


• Gli spazi misurabili e le funzioni misurabili
  


• Le varietà differenziabili e le funzioni differenziabili
  

• Ogni monoide forma una categoria piccola con un singolo oggetto X{displaystyle X} (il monoide stesso) avendo come morfismi le traslazioni associate agli elementi del monoide. (L'azione di un elemento di X su un qualunque altro elemento è definita dall'operazione binaria del monoide).


• Se I è un insieme, la categoria discreta su I è la categoria piccola che ha come oggetti gli elementi di I e come morfismi solo i morfismi identità.


• Da ogni categoria C si può definire una nuova categoria, la categoria duale C∗{displaystyle C^{*}} che ha per oggetti gli stessi oggetti di C, ma che inverte la direzione dei morfismi (l'insieme Mor(A,B){displaystyle Mor(A,B)} diventa l'insieme Mor(B,A){displaystyle Mor(B,A)}).


• Se (C,o') e (D,o") sono categorie, si può definire la categoria prodotto, i cui oggetti sono coppie (c,d) aventi per primo elemento un oggetto di C e per secondo un oggetto di D, i morfismi sono analoghe coppie di morfismi; la composizione viene definita componente per componente: (c1,d1)∘(c2,d2):=(c1∘′c2,d1∘″d2){displaystyle (c_{1},d_{1})circ (c_{2},d_{2}):=(c_{1}circ 'c_{2},,,d_{1}circ ''d_{2})}.

Sebbene esistano dei "morfismi" tra le categorie (i funtori) non è possibile definire la "categoria delle categorie", in quanto le categorie che sono classi proprie non possono appartenere ad altre classi (per definizione). È possibile invece parlare della categoria delle categorie piccole, le quali, essendo insiemi, possono appartenere a una classe e quindi essere oggetti di una categoria.

Tipi di morfismi |

Un morfismo f: A → B si chiama

• 
  monomorfismo se f(g1)=f(g2)⇒g1=g2{displaystyle f(g_{1})=f(g_{2})Rightarrow g_{1}=g_{2}} per tutti i morfismi g1,g2:X→A{displaystyle g_{1},g_{2}:Xrightarrow A}.


• 
  epimorfismo se g₁f = g₂f implica g₁ = g₂ per tutti i morfismi g₁, g₂ : B → X.


• 
  isomorfismo se esiste un morfismo g : B → A con fg = id_B e gf = id_A.


• 
  endomorfismo se A = B.


• 
  automorfismo se f è insieme un endomorfismo e un isomorfismo.

Funtori |

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Lo stesso argomento in dettaglio: Funtore (matematica).

I funtori sono mappe tra le categorie che ne conservano le strutture.

Un funtore covariante dalla categoria C alla categoria D è una mappa che associa:

• ad ogni oggetto X in C un oggetto F(X) in D


• ad ogni morfismo f:X→Y un morfismo F(f):F(X)→F(Y)

in modo tale che valgano le seguenti proprietà:

• F(id_X) = id_F(X) per ogni oggetto X in C.


• F(g ∘{displaystyle circ } f) = F(g) ∘{displaystyle circ } F(f) per tutti i morfismi f : X → Y e g : Y → Z.

Un funtore contravariante è definito in maniera analoga, ma inverte i morfismi, cioè se f:X→ Y, allora F(f):F(Y)→ F(X). Dato un funtore covariante da C a D, il corrispondente funtore da C^* a D è contravariante.

Trasformazioni e Isomorfismi naturali |

Due funtori F, G : C → D ci danno due rappresentazioni di C in D. Una trasformazione naturale è una associazione che permette di "tradurre" l'immagine che ne dà F in quella che ne dà G.

Se F e G sono funtori (covarianti) tra le categorie C e D, allora una trasformazione naturale da F a G associa a ogni oggetto X di C un morfismo η_X : F(X) → G(X) in D tale che per ogni morfismo f : X → Y in C abbiamo η_Y∘{displaystyle _{circ }} F(f) = G(f) ∘{displaystyle _{circ }} η_X; vale a dire che η rende commutativo il diagramma

I due funtori F e G si dicono naturalmente isomorfi se esiste una trasformazione naturale da F a G tale che η_X sia un isomorfismo tra oggetti in D per ogni oggetto X in C.

Bibliografia |

• (EN) Jiří Adámek, Horst Herrlich, George E. Strecker (1990): Abstract and Concrete Categories, John Wiley & Sons ISBN 0-471-60922-6
  


• (EN) Francis Borceux (1994): Handbook of Categorical Algebra I. Basic Category Theory, Cambridge University Press, ISBN 0-521-44178-1
  


• (EN) Francis Borceux (1994): Handbook of Categorical Algebra II. Categories and Structures, Cambridge University Press, ISBN 0-521-44179-X
  


• (EN) Francis Borceux (1994): Handbook of Categorical Algebra III. Categories of Sheaves, Cambridge University Press, ISBN 0-521-44180-3
  


• 
  William Lawvere, Steve Schanuel (1994): Teoria delle categorie: un'introduzione alla matematica, Franco Muzzio


• (EN) William Lawvere, Steve Schanuel (1997): Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories, Cambridge University Press


• (EN) Saunders Mac Lane (1998): Categories for the Working Mathematician (seconda edizione), Springer ISBN 0-387-98403-8
  


• (EN) Michael Barr, Charles Wells (2002): Toposes, Triples and Theories
  

Voci correlate |

• Progetto:Matematica/Elenco di voci sulla teoria delle categorie


• Funtore (matematica)


• Diagramma commutativo


• Gruppoide (teoria delle categorie)


• Categoria monoidale


• Categoria abeliana

Altri progetti |

• 
  Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su teoria delle categorie
  

Collegamenti esterni |

• 
  Note sulla teoria delle categorie (in inglese, file .ps compresso con Gzip)

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